微积分是什么,微积分是什么意思

给大一的学生布置了一项作业:写一写在微积分这门课中都学到了什么?

有的学生写得比较细枝末节,但其实这样也容易导致迷茫。很多同学表示,对这门课其实还不太理解,也不太清楚怎么用。鉴于此,我来回答一下两个问题:

微积分是什么?微积分有什么用处?

理解微积分是什么有三个层次。

第一个层次是概念上的,比如,你大概对变化率,黎曼和,序列这些东西理解起来没有什么困难。可是,若说到瞬时变化率,黎曼和的极限来定义的定积分,无穷序列这些东西,你可能就有点糊涂了。那是因为,你糊涂的原因你不清楚。你可能说,我知道我为什么糊涂,我不就清楚了么?对的,我就来说一下你为什么糊涂,糊涂在哪里。

为什么糊涂呢?糊涂在哪里呢?因为你觉得,瞬时变化率不就是变化率么?黎曼和的极限不还是和么?无穷序列不也是序列么?其实,虽然表面上看,还是那么回事,但其实还是有不同的。最大的不同,就是我们处理方法是不同的。变化率以前我们是靠算的,黎曼和从定义上看就是求一个和,而序列也只是求和的项比较多而已(一般有一定规律)。但到了瞬时变化率,定积分,无穷序列的计算中,我们主要不靠算了,而靠推。

这就来到了第二个层次,如何推?

大家可能已经知道了,瞬时变化率(求导数),定积分,无穷序列,这些都是极限定义的,要算出这些东西,那就要计算极限的值。极限值当然也是可以算的,不过非常的繁琐,我们不可能都用求极限的方法去算这些东西,而要寻求比较聪明的办法,这也是微积分课程的主要部分。简单的说,微分有微分的性质,所以我们可以利用微分的性质,通过一些简单函数求出来的导数,来推算出各种复杂的函数的导数。而定积分可以通过求被积函数的原函数来简单的求解(微积分基本定理),从而避免了黎曼和极限的计算。(我不认为不定积分很重要,只是觉得讲不定积分,是为了强调找原函数的重要性。)

所以,只要我们把函数给玩转了,导函数原函数求起来得心应手,那么如何求计算方面就不是太大的问题了。当然,有些函数是找不到原函数的,我们也可以通过简单的数值方法找到定积分的近似解。

其实我感觉不少微积分课程把前两个层次说清了也就结束了。但我觉得还是少了一个重要环节,至少我觉得一般微积分课程不太重视这一环节,就是应用的环节,也就是我说的第三个层次。

我这里说的应用不是给你几个应用题,化成微分或积分的问题,然后把他们解出来那么简单。如果应用知识只是学什么课,就专门找可以应用的地方举几个例子,那么可能这个能力方面还有所欠缺。

现在就来讲一讲这个应用层面。

其实,理论本身就来源于应用的问题。比如,切线的斜率,不规则区域的面积,复杂函数的分析等,面对这些棘手的问题,首先我们想的就是能不能化成可以处理的问题。于是,割线的斜率,长方体的面积,多项式函数或三角函数,就被用来作为解决这些棘手的对象的桥梁。对极限的存在性研究和计算也就成了我们感兴趣的事情,因为解决这方面的问题,也就可以借用我们好处理的问题来完成棘手问题的解决。

所以,面对一个实际的问题,首先想的不应该是我可以用什么工具,而是问题本身是什么?解决的难点在哪里?如何转化问题才能让其变得更加简单?也就是通常所说的,你有没有掌握微积分的思维方法?我们用类似的思维方法去解决了区域面积,曲线长度,物体体积的问题,这一点你有没有察觉? 多元微积分和一元微积分的理论有哪些共同点?

另外补充一点。大家都知道,列方程解方程是我们以前解决应用题的法宝之一。学了微积分之后,要学会列微分方程。在之前,列方程无非是列出量与量的关系,解方程就是通过这种关系找到未知量的数值解。而方程也可以包含未知函数量的变化率与量的关系,我们通过等式关系可以找到其函数解。这一点,其实大大扩展了我们解决实际问题的范围。虽然,微积分课程并没有深入研究各种微分方程的求解方法。(但数学系一般会学好几门关于微分方程的课程。)

我想我同时回答了两个问题。再总结一下,微积分采用了极限的思想方法解决了一系列问题,我们学习微积分首先要弄清哪些问题可以微积分帮忙来解决的,才能有效地应用它来解决实际问题。另外,就是要学会根据实际问题列出微分方程,至于如何求解,可以从长计议。

我把微积分理解学习的三个层次画了一个递进图示,可以帮助理解吧。

微积分是什么,微积分是什么意思

微积分理解三层图

公众号:zhantianss(长按复制)

本文链接:https://www.zhantianz.com/115781.html

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 2533378009@qq.com 举报,一经查实,本站将立刻删除。

{"error":400,"message":"over quota"}https://www.zhantianz.com/115781.html