单位向量都相等吗(单位向量都相等吗-单位向量都平行吗-)

【考试要求】

1.了解向量的实际背景;

2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义;

3.理解向量的几何表示和基本要素;

4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

【知识梳理】

1.向量的有关概念

(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.

(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任一向量平行.

(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

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【微点提醒】

1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即+++…+An-1An=,特别地, 一个封闭图形,首尾连接而成的向量和为零向量.

2.若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+).

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【考点聚焦】

考点一 平面向量的概念

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【规律方法】 对于向量的有关概念应注意以下几点:

(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量;相等向量具有传递性.

(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.

(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的平移混为一谈.

(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.

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考点二 平面向量的线性运算

角度1 向量的线性运算

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角度2 利用向量线性运算求参数

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【规律方法】

1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.

2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向量的位置;(2)寻找相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果.

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考点三 共线向量定理及其应用

【规律方法】

1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.

2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立.

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【反思与感悟】

1.向量线性运算的三要素

向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则,向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”.

2.三个常用结论

(1)O为△ABC的重心的充要条件是++=0;

(2)四边形ABCD中,E为AD的中点,F为BC的中点,则+=2;

(3)对于平面上的任一点O,,不共线,满足=x+y(x,y∈R),则P,A,B共线?x+y=1.

注意向量共线与三点共线的区别.

【易错防范】

1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.

2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.

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